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加试模拟训练题（96）
1、在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．
证明 设AC、BD交于点E．
由AM∶AC=CN∶CD，故AM∶MC=CN∶ND，
令CN∶ND=r(r>0)， 则AM∶MC=r．
由SABD=3SABC，SBCD=4SABC，即SABD∶SBCD =3∶4．
从而AE∶EC∶AC=3∶4∶7．
SACD∶SABC=6∶1，故DE∶EB=6∶1，
∴DB∶BE=7∶1．
AM∶AC=r∶(r+1)，即AM=rr+1AC，AE=37AC，
∴EM=(rr+1-37)AC=4r－37(r+1)AC．MC=1r+1AC，
∴EM∶MC=4r－37．由Menelaus定理，知CNND•DBBE•EMMC=1，代入得
r•7•4r－37=1，即4r2－3r－1=0，这个方程有惟一的正根r=1．故CN∶ND=1，就是N为CN中点，M为AC中点．
2. n为一正整数，试确定有多少个实数x，满足1≤x＜n和x3－[x3]=（x－[x]）3．其中[x]表示不超过x的最大整数．
【题说】1992年澳大利亚数学奥林匹克题2．
【解】记[x]=－a，x－[x]=r，则有1≤a≤n－1，0≤r＜1，且
（a+r）3－[（a+r）3]=r3
即 a3+3a2r+3ar2=[（a+r）3]
所以a3+3a2r+3ar2是整数，且a3≤a3+3a3r+3ar2＜a3+3a2+3a=（a+1）3－1．当a确定时，对任一整数n，a3＜n＜（a+1）3－1，r的二次方程3ar2+3a2r+（a3－n）=0的常数项为负，所以恰有一个正根r．而且（a+1）3－1＞n=3ar2+3a2r+a3推出r＜1．在n=a3时，显然r=0．所以a确定时，r有（a+1）3－a3－1个不同的值满足0≤r＜1．从而x=a+r的个数为（a+1）3－a3－1．故所求x的个数为
3.从n×n正方形剪去一个1×1的角格，求其余的图形分成等积三角形的最少个数．
【题说】 第十六届(1990年)全俄数学奥林匹克九年级题6．
【解】 一个与图中折线ABC有公共点的三角形，一条边长不大于1，
至少分成
